Aufgabe 1

übung_6/aufgabe_1.tex

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 \section{LP-Runden}
 \begin{tasks}
 	\item
+		Wir suchen in $U$ nach dem Knoten $v$ mit dem kleinsten $x_v$, unser $\epsilon$,
+		und setzen alle Knoten $u \in U$ auf $x_u - \epsilon$ und alle Knoten $w \in W$
+		auf $\min(x_w~+~\epsilon, 1)$.
+
+		Das macht unsere Beschränkung $x_u + x_w \geq 1$ nicht kaputt, da ein Nachbar $w$ 
+		von einem Knoten $u \in U$ mindestens den Wert $\frac{1}{2} + \epsilon$ hat,
+		also $1$ ist oder in $W$ liegt.
+
+		Somit hat sich $\abs{U} + \abs{W}$ um mindestens $1$ verkleinert, da
+		$x_v$ nun $0$ ist und somit nicht in $U \cup W$ liegt und zu $W$ keine
+		weiteren Knoten dazukommen können.
+
+		Die Veränderungen der Variablen läuft in $\Oh(V)$, da im schlimmsten Fall
+		alle Knoten entweder in $U$ oder in $W$ liegen.
+		\points{4}
 	\item
+		\label{1b}
+		Wir teilen die Knoten $v \in V$ in drei Mengen ein.
+		\begin{align*}
+			A = &\set{v \mid x_v \leq \frac{1}{2}-\epsilon} \\
+			B = &\set{v \mid v \notin A \cup C} \\
+			C = &\set{v \mid x_v \geq \frac{1}{2}+\epsilon}
+		\end{align*}
+		Für alle $v \in A$ setzen wir $x_v = 0$, für alle $v \in B$ setzen wir
+		$x_v = \frac{1}{2}$ und für alle $v \in C$ setzen wir $x_v = 1$.
+		Als $\epsilon$ wählen wir das das kleinste $x_v$.
+
+		Das dürfen wir, da wir damit die LP-Beschränkungen aufrechterhalten.
+		\begin{enumerate}
+			\item Für alle Variablen $x_v$ gilt $0 \leq x_v \leq 1$.
+			\item Für alle Paare $v, u$ gilt $x_v + x_u \geq 1$, da
+				
+				Fall 1: O.B.d.A gilt: Wenn $x_v \leq \frac{1}{2} - \epsilon$, dann muss $x_u \geq \frac{1}{2} + \epsilon$, wird $x_v = 0$ und $x_u = 1$.
+
+				Fall 2: Wenn $x_v$ oder $x_u \geq \frac{1}{2} + \epsilon$, werden
+				$x_v$ oder $x_u = 1$.
+
+				Fall 3: Wenn $x_v, x_u \notin A \cup C$, werden $x_v = x_u = \frac{1}{2}$.
+		\end{enumerate}
+		Die Laufzeit beläuft sich auf $\Oh(V)$ da sich das $\min_{v \in V} x_v$ in
+		$\Oh(V)$ Zeit finden und sich jeder Knoten in $\Oh(V)$ in eine
+		der drei Mengen einteilen lassen kann.
+		\points{3}
 	\item
+		Wir nehmen als Basis den Algorithmus aus \autoref{1b}. Um nun eine
+		eindeutige 2-Approximation für die Knotenüberdeckung zu bekommen,
+		runden wir alle $x_v = \frac{1}{2}$ auf $1$ auf.
+		
+		Dadurch erhalten wir eine Lösung die maximal doppelt so viele Knoten
+		enthält, wie eine optimale Lösung, da für ein Knotenpaar $v, u$ für das
+		$x_v = x_u = \frac{1}{2}$ mindestens ein Knoten in der Knotenüberdeckung
+		enthalten sein muss. Wenn wir beide Knoten nehmen, haben wir doppelt so
+		viele.
+		\points{2}
 \end{tasks}