Formatierung aufhübschen

übung_6/aufgabe_2.tex

@@ -18,6 +18,7 @@
 	\points{1}
 \end{tasks}
 
+{
 \newpage
 \KOMAoptions{mpinclude=false}
 \recalctypearea
@@ -71,5 +72,4 @@
 	\caption{Cristofides' Algorithmus}
 	\label{fig:christofides}
 \end{figure}
-\KOMAoptions{mpinclude=true}
-\recalctypearea
+}

übung_6/aufgabe_3.tex

@@ -3,59 +3,70 @@
 	\item
 
 \begin{pseudocode}
-	M = $\emptyset$
-	visited = Array von False der Größe $|V|$ // Markiert gematchte Knoten
+Matchings($G = \tup(V, E)$)
+	$M = \emptyset$
+	$visited =$ |Array von $False$ der Größe| $|V|$ // Markiert gematchte Knoten
 
-	for e in E do
-		if nicht visited[u] und nicht visited[v] then
-			M = $M \cup \{e\}$
-			visited[u] = True
-			visited[v] = True
-
-	return M
+	for $e$ in $E$ do
+		if $\neg visited[u] \wedge \neg visited[v]$ then
+			$M = M \cup \{e\}$
+			$visited[u] = True$
+			$visited[v] = True$
+	return $M$
 \end{pseudocode}
 		
-	Angenommen M wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante \{u,v\} mit u,v $\notin$ V(M)). Dann wurden sowohl u als auch v während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante \{u,v\} als frei angesehen und wäre somit der Menge M hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch. \\\\
-	\textbf{Laufzeit:} \\
-	Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$\\
-	Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$\\
-	Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
+	Angenommen $M$ wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante $\{u,v\}$ mit $u,v \notin V(M)$). Dann wurden sowohl $u$ als auch $v$ während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante $\{u,v\}$ als frei angesehen und wäre somit der Menge $M$ hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch.
 
+	\textbf{Laufzeit:}
+
+	Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$
+
+	Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$
+
+	Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
 	\points{3}
 	\item
-	
 	\points{2}
-	\item
 
-	Sei M das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und M* das optimale maximale Matching. \\
-	Für jede Kante $e*=\{u,v\}\in$ M* gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus M abgedeckt werden, sonst wäre der M nicht nicht-erweiterbar. \\
-	Eine Kante aus M hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus M* ''blockieren''. Da alle Kanten in M* disjunt sind kann man daraus folgern:
-	$$ |M*|\leq 2\cdot |M|\quad \Rightarrow\quad |M|\geq \frac{1}{2}|M*|$$
+	\item
+	Sei $M$ das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und $M^*$ das optimale maximale Matching.
+
+	Für jede Kante $e^*=\{u,v\}\in M^*$ gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus $M$ abgedeckt werden, sonst wäre der $M$ nicht nicht-erweiterbar.
+
+	Eine Kante aus $M$ hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus $M^*$ ,,blockieren``. Da alle Kanten in $M^*$ disjunkt sind kann man daraus folgern:
+	\[
+		\abs{M^*} \leq 2\cdot \abs{M} \implies \abs{M} \geq \frac{1}{2} \abs{M^*}
+	\]
 	Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
 	
 	\points{3}
 	\item
 	
 	Zielfunktion:
-	$$ \arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1$$
+	\[
+		\arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1
+	\]
 	Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
-	$$x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E$$
-	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.\\
+	\[
+		x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E
+	\]
+	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.
+
 	Nebenbedingungen:
 	\begin{enumerate}
-		\item Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
-		$$\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1$$
+		\item 
+		Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
+		\[
+			\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1
+		\]
 		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
 		\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
-		$$ \forall \{u,v\}\in E \colon \sum_{e\in\delta(u)}x_e+\sum_{e'\in\delta(v)}x_e'\geq 1$$
+			\[
+				\forall \{u,v\} \in E \colon \sum_{e \in \delta(u)} x_e + \sum_{e' \in \delta(v)} x_e' \geq 1
+			\]
 		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
 	\end{enumerate}
-	
-	
 	\points{3}
 	\item
-	
 	\points{2}
-	
-	
 \end{tasks}