übungsblatt 2

übung_2/aufgabe_3.tex

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+\section{Eulerwege}
+\begin{quote}
+Sei $G = \tup{V, E}$ ein ungerichteter, zusammenhängender Graph. Dann gilt: $G$ hat genau
+dann einen Eulerweg, wenn die Anzahl an Knoten $v \in V$, für die gilt, dass $deg(v)$
+ungerade ist, genau $0$ oder $2$ ist.
+\end{quote}
+
+\begin{itemize}
+	\item[$\seilpmi$]
+		1. Fall: $0$ Knoten mit ungeradem Grad. Nach dem Satz in der Vorlesung
+		gibt es einen Eulerkreis. Im Eulerweg sind also Start- und Endknoten
+		identisch.
+
+		2. Fall: $2$ Knoten mit ungeradem Grad. Die beiden Knoten bilden den Start-
+		und Endknoten des Eulerwegs. Die Kante die den Eulerkreis schließen würde
+		braucht genau zwei Knoten, zu denen sie inzident ist. Nehmen wir diese Kante
+		weg, ergibt sich eine ungerader Grad an diesen beiden Knoten.
+	\item[$\implies$]
+		Ein Graph mit ungerader Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad kann nicht
+		existieren, da die Summe aller Knoten mit ungeradem Grad gerade ist.
+
+		Für alle anderen Fälle gilt, wenn ein Knoten ungeraden Grad hat, dann gibt
+		es keinen Weg aus dem Knoten heraus, wenn man hineingelaufen ist.
+\end{itemize}
+\points{4}
+