übungsblatt 2

übung_2/aufgabe_2.tex

@@ -0,0 +1,78 @@
+\section{Kreissuche}
+\begin{tasks}
+\item
+	Wähle Startknoten $s$ und füge ihn in eine neue Queue $Q$ ein.
+
+	Nimm den vordersten Knoten $u$ aus $Q$ und füge seine noch nicht entdeckten (weißen)
+	Nachbarn ein und färbe sie grau. Wenn einer der Nachbarn schon entdeckt wurde,
+	also grau ist, gibt es einen Kreis in $G$.
+	Markiere den Knoten $u$ als abgeschlossen ($black$) und entferne ihn aus $Q$
+
+	Wiederhole den Schritt solange bis $Q$ leer ist.
+
+% \begin{pseudocode}[caption=Hello World Algorithmische]
+% EinfacherKreis(|Graph| $G$, |Vertex| $s$)
+% 	Initialize($G$, $s$)
+% 	$Q \gets$ new Queue
+% 	$Q.$Enqueue($s$)
+% 	$t_1 \gets nil$
+% 	$t_2 \gets s$
+% 	// Comment
+% 	while $Q \neq \emptyset$ do
+% 		$u \gets Q.$Dequeue
+% 		$t_1 \gets t_2$
+% 		$t_2 \gets u$
+% 		foreach $v \in Adj[u]$ do
+% 			if $v.color = white$ then
+% 				$Q.$Enqueue($v$)
+% 		$u.color \gets black$
+% 	if $t_1 = t_2$ then
+% 		return $true$
+% 	else
+% 		return $false$
+% \end{pseudocode}
+	\begin{algorithm}[h]
+	\centering
+	\begin{algorithmic}
+	\alg{EinfacherKreis}{Graph $G$, Vertex $s$} \+ \\
+		\alg{Initialize}{$G$, $s$} \com{So wie in der Breitensuche} \\
+		$Q \gets$ new \alg{Queue}{} \\
+		$Q.$\alg{Enqueue}{$s$} \\
+		while $Q \neq \emptyset$ do \+ \\
+			$u \gets Q.$\alg{Dequeue}{} \\
+			$u.color \gets gray$ \\
+			foreach $v \in Adj[u]$ do \+ \\
+				\com{Füge alle noch nicht entdeckten Knoten ein} \\
+				if $v.color = white$ then  \+ \\
+					$v.color \gets gray$ \\
+					$Q.$\alg{Enqueue}{$v$} \- \\
+				\com{Wenn ein Knoten schon entdeckt wurde, gibt es einen Kreis} \\
+				else return $true$  \- \\
+		$u.color \gets black$ \- \\
+		return $false$
+	\end{algorithmic}
+	\end{algorithm}
+	\points{4}
+
+\item
+	Dadurch, dass wir nur Knoten
+	einfügen, die noch nicht entdeckt wurden, können wir nie auf dem selben Pfad
+	zu einem Knoten kommen. Das heißt, wenn wir einen schon entdeckten Knoten
+	finden, haben wir einen Kreis im Graphen gefunden.
+
+	Der Algorithmus kann aufgrund der Struktur des Graphens (kein Multigraph,
+	keine Selbstkanten) nur Kreise der Länge mindestens 3 finden.
+
+	Jeder Knoten wird nur einmal in die Queue eingefügt und nur einmal herausgenommen.
+	Somit läuft der Algorithmus in $\Oh(\abs{V})$.
+	\points{2}
+
+\item
+	Solange es weiße Knoten im Graphen gibt, wählen wir einen neuen Startknoten
+	für diese Zusammenhangskomponente. Als Ausgabe geben wir ein Array von
+	Tupeln $\tup{s_i, c_i}$ zurück, wobei $s_i$ der Startknoten einer 
+	Zusammenhangskomponente und $c_i \in \set{true, false}$ der Wahrheitswert, ob
+	ein Kreis in der Komponente existiert.
+	\points{1}
+\end{tasks}
+