blatt 9

übung_8/aufgabe_3.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\section{Randomisierte größte Schnitte}
+\begin{tasks}
+\item
+	Siehe \autoref{fig:3a}.
+	\points{2}
+	\begin{figure}
+		\centering
+		\includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Gegenbeispiel; Maximaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht maximaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$}
+		\label{fig:3a}
+	\end{figure}
+
+\item
+	O.B.d.A gilt:
+
+	Die Wahrscheinlichkeit dafür das eine Knoten in $S$ gewählt wird ist
+	$\frac{1}{2}$.
+	
+	Sei $\set{u, v}$ eine Kante und wurde $u$ in die Menge $S$ gewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $v$ in die selbe Menge gewählt wird $\frac{1}{2}$.
+	\points{1}
+
+\item
+	Sei $\tup{S, T}$ ein fester maximaler Schnitt. Dann gibt es eine Menge von Kanten
+	$\set{e_1, \dots, e_k}$ die den Schnitt kreuzen, also deren Knoten nicht in die selbe
+	Menge gewählt wurden.
+
+	Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kanten nicht in die selbe Menge gewählt wurden ist also
+	\[
+		1 - \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2}
+	\]
+	\points{2}
+
+\item
+	\[
+	\dots
+	\]
+
+	Die erwartete Anzahl an Kanten, die den Schnitt kreuzen ist mindestens $\frac{\abs{E}}{2}$. Im schechtesten Fall ist der Graph bipartit und alle
+	Kanten kreuzen den maximalen Schnitt. Somit ist \alg*{RandMaxCut} eine $\frac{1}{2}$-Approximation für den maximalen Schnitt.
+	\points{4}
+
+
+\end{tasks}

übung_9/agt_übung_9.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[parskip=half]{ngexrcs}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{subcaption}
+\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.8\textwidth}
+
+\subject{Algorithmische Graphentheorie}
+\title{8. Übungsblatt}
+\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\points[2em]{20}
+
+\input{aufgabe_1.tex}
+\input{aufgabe_2.tex}
+\input{aufgabe_3.tex}
+
+\end{document}

übung_9/aufgabe_1.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\section{Kleinste Schnitte}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Siehe \autoref{fig:1a}.
+		\points{2}
+
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\includegraphics[page=1, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
+			\caption{Gegenbeispiel; Minimaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht minimaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$ in rot.}
+			\label{fig:1a}
+			
+		\end{figure}
+
+	\item
+		Die Wahrscheinlichkeit, dass \alg*{Contract} in keiner Iteration
+		eine Kante aus $C = \set{uv \in E \mid u \in S, v \in T}$ mit minimalem Schnitt $\tup{S, T}$ kontrahiert, also immer die falschen Knoten auswählt,
+		ist laut Vorlesung $\frac{2}{n(n-1)}$. Das heißt die Zahl der 
+		richtigen Knoten wächst quadratisch, da die Wahrscheinlichkeit quadratisch
+		abnimmt.
+		\points{3}
+	
+\end{tasks}

übung_9/aufgabe_2.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\section{Implementierung von \textsc{Contract}}
+\begin{enumerate}
+	\item $G$ nach $H$ kopieren. \hfill $\Oh(1)$
+	\item Wenn $\abs{V_H} \leq 2$, dann ist die Zerlegung $\tup{S, T}$ von $G$,
+		die den beiden letzen Knoten in $H$ entspricht, das Ergebnis.
+		\label{step2}
+	\item Wähle eine Zufallszahl $z$ im Intervall $\interval{1; \abs{V_H}}$. \hfill $\Oh(1)$
+	\item Nimm den Knoten $a = V_H[z]$ und wähle eine Zufallszahl $z'$ im Intervall $\interval{1, \abs{Adj[a]}}$.
+
+		Nimm den Knoten $b = Adj_{z'}[a]$. \hfill $\Oh(1)$
+	\item Bestimme für jeden zu $a$ oder $b$ adjazenten Knoten $c_i$ die Anzahl der Kanten
+		zwischen $c_i$ und $a$ oder $b$. \hfill $\Oh(V_H) = \Oh(n)$.
+	\item Kontrahiere die Kante $ab$. Lösche dazu die Knoten $a, b$ sowie alle zu $a$ oder $b$ inzidenten Kanten. Da Mehrfachkanten als Zahl implementiert sind, sind
+		nur maximal 2 Einträge pro $c_i$ zu löschen. \hfill $\Oh(n)$
+		
+		Füge einen neuen Knoten $d$ ein. Füge für jeden Knoten $c_i$ die vorher bestimmte Anzahl
+		an Kanten zwischen $c_i$ und $a$ oder $b$ als Kanten zwischen $c_i$ und $d$ ein.
+		\hfill $\Oh(n)$
+	\item Gehe zurück zu \autoref{step2}
+\end{enumerate}
+
+Da der Knoten $a$ durch eine gleichverteilte Zufallszahl $z$ ausgewählt wird und der
+Knoten $b$ ebenfalls gleichverteilt ausgewählt wird, ist die Kante $ab$ ebenfalls
+gleichverteilt ausgewählt.
+\points{6}

übung_9/aufgabe_3.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\section{Randomisierte größte Schnitte}
+\begin{tasks}
+\item
+	Siehe \autoref{fig:3a}.
+	\points{2}
+	\begin{figure}
+		\centering
+		\includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Gegenbeispiel; Maximaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht maximaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$}
+		\label{fig:3a}
+	\end{figure}
+
+\item
+	O.B.d.A gilt:
+
+	Die Wahrscheinlichkeit dafür das eine Knoten in $S$ gewählt wird ist
+	$\frac{1}{2}$.
+	
+	Sei $\set{u, v}$ eine Kante und wurde $u$ in die Menge $S$ gewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $v$ in die selbe Menge gewählt wird $\frac{1}{2}$.
+	\points{1}
+
+\item
+	Sei $\tup{S, T}$ ein fester maximaler Schnitt. Dann gibt es eine Menge von Kanten
+	$\set{e_1, \dots, e_k}$ die den Schnitt kreuzen, also deren Knoten nicht in die selbe
+	Menge gewählt wurden.
+
+	Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kanten nicht in die selbe Menge gewählt wurden ist also
+	\[
+		1 - \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2}
+	\]
+	\points{2}
+
+\item
+	\[
+	\dots
+	\]
+
+	Die erwartete Anzahl an Kanten, die den Schnitt kreuzen ist mindestens $\frac{\abs{E}}{2}$. Im schechtesten Fall ist der Graph bipartit und alle
+	Kanten kreuzen den maximalen Schnitt. Somit ist \alg*{RandMaxCut} eine $\frac{1}{2}$-Approximation für den maximalen Schnitt.
+	\points{4}
+
+
+\end{tasks}

übung_9/aufgabe_4.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\section{Längste Wege}
+\begin{tasks}
+	\item
+	Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir
+	einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir
+	einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen.
+	
+	Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$
+	in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren,
+	indem wir $s$ und $t$ entfernen.
+	\points{2}
+	
+	\item
+	Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet
+	und somit Länge $n-1$ besitzt.
+	
+	Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$
+	in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt 
+	werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden,
+	wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden.
+	
+	Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg
+	umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen
+	Hamiltonweg finden.
+	
+	Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen
+	$s$-$t$-Weg finden.
+	\points{1}
+	
+	\item
+	Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert
+	haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn
+	wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in
+	polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen,
+	ist das nicht möglich.
+	\points{2}
+	
+\end{tasks}

übung_9/ngexrcs.cls

@@ -0,0 +1,71 @@
+% vim: set filetype:tex
+
+% Identification %
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesClass{ngexrcs}[2021/12/21 ADS Exercise class]
+
+% Handle options %
+\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrartcl}}
+\ProcessOptions\relax
+
+% More declarations %
+\LoadClass{scrartcl}
+
+\KOMAoptions{mpinclude=true}
+\recalctypearea
+
+\RequirePackage{ngutils}
+
+% define fonts
+\RequirePackage{fontspec}
+\RequirePackage[math-style=upright]{unicode-math}
+\setmainfont{TeX Gyre Pagella}
+\setsansfont{TeX Gyre Heros}
+\setmonofont{TeX Gyre Cursor}
+\setmathfont{Euler Math}
+
+\setlength{\marginparwidth}{1.5\marginparwidth}
+\setlength{\fboxrule}{\heavyrulewidth}
+
+% Use sansfont for all title elements
+\addtokomafont{titlehead}{\sffamily}
+\addtokomafont{subject}{\sffamily}
+\addtokomafont{title}{\sffamily}
+\addtokomafont{subtitle}{\sffamily}
+\addtokomafont{author}{\sffamily}
+\addtokomafont{date}{\sffamily}
+\addtokomafont{publishers}{\sffamily}
+
+% Use serif font for headings
+\addtokomafont{disposition}{\rmfamily}
+
+% Let sections be formated as in: Aufgabe 1 -- Section title 
+\renewcommand*{\sectionformat}{Aufgabe \thesection\autodot\enskip--\enskip}
+
+% Let points of an exercise be printed as in: [__ / 2]
+\newkomafont{points}{\sffamily}
+\newcommand\points[2][1em]{\marginline{\framebox{{\usekomafont{points}\hspace{#1} \textbf{/} #2}}}}
+
+\newcounter{task}
+\renewcommand{\thetask}{\@alph\c@task)}
+\newenvironment{tasks}
+{
+	\begin{list}{\thetask}
+		{
+			\usecounter{task}
+			\setlength{\leftmargin}{1.6em}
+		}
+}{%
+	\end{list}
+}
+
+\DeclareNewTOC
+[
+	type=algorithm,
+	types=algorithms,
+	float,
+	floattype=4,
+	name=Algorithmus,
+	listname={Algorithmenverzeichnis}
+]
+{loa}

übung_9/ngutils.sty

@@ -0,0 +1,159 @@
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{ngutils}[2026/06/05 Never's LaTeX utils]
+
+\RequirePackage[ngerman]{babel}
+\RequirePackage{graphicx}
+\RequirePackage{tabularx}
+\RequirePackage{booktabs}
+\RequirePackage{listings}
+
+\lstnewenvironment{pseudocode}[1][] %defines the algorithm listing environment
+{
+    \renewcommand{\lstlistingname}{Algorithmus}
+    \lstset{ %this is the stype
+        mathescape=true,
+        columns=fullflexible,
+        basicstyle=\normalfont,
+        identifierstyle=\scshape,
+        keywordstyle=\bfseries,
+        keywords={, and, or, not, new, if, then, else, while, for, in, to, up, down, foreach, do, return},
+        commentstyle=\itshape,
+        comment=[l]//,
+        delim=[is][\normalfont]{|}{|},
+        tabsize=3,
+        frame=tb,
+        framerule=1pt,
+        #1 % this is to add specific settings to an usage of this environment (for instnce, the caption and referable label)
+    }
+}
+{}
+
+\newcommand{\seilpmi}{\Longleftarrow}
+
+\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
+
+\newcommand{\Pe}{\mathrm{P}}
+\newcommand{\NPe}{\mathrm{NP}}
+
+\newcommand{\Oh}{\mathcal{O}}
+\newcommand{\oh}{\scriptstyle{\mathcal{O}}}
+
+\newcommand{\indeg}{\mathrm{indeg}}
+\newcommand{\outdeg}{\mathrm{outdeg}}
+\newcommand{\Eh}{\mathrm{E}}
+\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}
+\newcommand{\pot}{\mathcal{P}}
+\newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg\,max}}}
+\newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg\,min}}}
+
+\newcommand{\parens}[1]{\left(#1\right)}
+\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
+\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
+\newcommand{\angled}[1]{\left\langle#1\right\rangle}
+
+\newcommand{\suchthat}{\;\middle\vert\;}
+
+\newcommand{\tup}[1]{\parens{#1}}
+\newcommand{\interval}[2][b]{
+	\if\detokenize{a}\detokenize{#1}%
+		\left[#2\right[
+	\fi
+	\if\detokenize{b}\detokenize{#1}%
+		\left[#2\right]
+	\fi
+	\if\detokenize{c}\detokenize{#1}%
+		\left]#2\right[
+	\fi
+	\if\detokenize{d}\detokenize{#1}%
+		\left]#2\right]
+	\fi
+}
+\newcommand{\set}[2][]{
+	\ifx&#1&
+		\braces{#2}
+	\else
+		\braces{#1 \suchthat #2}
+	\fi
+}
+\newcommand{\arr}[1]{\angled{#1}}
+\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
+\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
+\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
+
+% \newcommand{\alg}[2]{{\normalfont\scshape#1}{\normalfont(#2)}}
+\newcommand{\algt}[1]{{\normalfont\scshape#1}}
+
+\makeatletter
+\newcommand*{\alg@unstarred}[2]{{\normalfont\scshape#1}{\normalfont(#2)}}
+\newcommand*{\alg@starred}[1]{{\normalfont\scshape#1}}
+\newcommand*{\alg}{\@ifstar{\alg@starred}{\alg@unstarred}}
+\makeatother
+
+\newcommand{\com}[1]{{\normalfont\itshape/\!\!/ #1}}
+
+\newenvironment{algorithmic}[1][1em]{
+	\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth}
+		\bfseries
+		\begin{tabbing}
+			\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\hspace{#1}\=\kill
+			}{%
+		\end{tabbing}
+	\end{minipage}
+}
+
+% \newlength{\theoremskip}
+% \setlength{\theoremskip}{6em}
+%
+% \newcommand{\theoremfont}{\normalfont\bfseries}
+% \newcommand{\definitionfont}{\normalfont\bfseries}
+%
+% \newenvironment{theoremic}[3][]{
+% 	{#3 #2 #1}
+% 	\hfill
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+% 	\end{minipage}
+% }
+%
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+% \newenvironment{corrolary}[1][]{
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+% \newenvironment{proof}[1][]{
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+% }
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+% }
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+% \newenvironment{example}[1][]{
+% 	\begin{theoremic}[#1]{Beispiel}{\theoremfont}
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+% }
+%