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übung_8/aufgabe_3.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\section{Randomisierte größte Schnitte}
+\begin{tasks}
+\item
+	Siehe \autoref{fig:3a}.
+	\points{2}
+	\begin{figure}
+		\centering
+		\includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
+		\caption{Gegenbeispiel; Maximaler Schnitt $\tup{S, T}$ und nicht maximaler Schnitt $\tup{\set{v}, V \setminus \set{v}}$}
+		\label{fig:3a}
+	\end{figure}
+
+\item
+	O.B.d.A gilt:
+
+	Die Wahrscheinlichkeit dafür das eine Knoten in $S$ gewählt wird ist
+	$\frac{1}{2}$.
+	
+	Sei $\set{u, v}$ eine Kante und wurde $u$ in die Menge $S$ gewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $v$ in die selbe Menge gewählt wird $\frac{1}{2}$.
+	\points{1}
+
+\item
+	Sei $\tup{S, T}$ ein fester maximaler Schnitt. Dann gibt es eine Menge von Kanten
+	$\set{e_1, \dots, e_k}$ die den Schnitt kreuzen, also deren Knoten nicht in die selbe
+	Menge gewählt wurden.
+
+	Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kanten nicht in die selbe Menge gewählt wurden ist also
+	\[
+		1 - \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2}
+	\]
+	\points{2}
+
+\item
+	\[
+	\dots
+	\]
+
+	Die erwartete Anzahl an Kanten, die den Schnitt kreuzen ist mindestens $\frac{\abs{E}}{2}$. Im schechtesten Fall ist der Graph bipartit und alle
+	Kanten kreuzen den maximalen Schnitt. Somit ist \alg*{RandMaxCut} eine $\frac{1}{2}$-Approximation für den maximalen Schnitt.
+	\points{4}
+
+
+\end{tasks}