blatt 10

übung_10/agt_übung_10.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[parskip=half]{ngexrcs}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{subcaption}
+\setkeys{Gin}{pagebox=artbox, width=0.8\textwidth}
+
+\subject{Algorithmische Graphentheorie}
+\title{10. Übungsblatt}
+\author{Jasper Gude \and Pia Röttgers}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\points[2em]{20}
+
+\input{aufgabe_1.tex}
+\input{aufgabe_2.tex}
+\input{aufgabe_3.tex}
+
+\end{document}

übung_10/aufgabe_1.tex

@@ -0,0 +1,51 @@
+\section{Größte Clique}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Wir prüfen für jede Teilmenge $V' \subseteq V$, ob sie eine Clique ist, 
+		d. h. wir prüfen für jeden Knoten in $V'$ ob es eine Kante zu jedem anderen
+		Knoten in $V'$ gibt.
+
+		Dabei fangen wir mit der größten Teilmenge an und werden schrittweise kleiner.
+		Wenn wir eine Clique finden ist sie die größte.
+		
+		Exakt haben wir eine Laufzeit von
+		\[
+			\sum_{i=1}^n \binom{n}{i} \cdotp i^2
+		\]
+
+		Es exitieren maximal $2^n$ viele Teilmengen. Für jede Teilmenge $V'$
+		prüfen wir für jedes Knotenpaar, ob sie adjazent sind. Das geht in $\Oh(n^2)$ Zeit.
+		Also $\Oh(2^n \cdotp n^2)$.
+		\points{2}
+
+	\item \label{1b}
+		Wir prüfen diesmal für jede Teilmenge der Nachbarschaft $N(v)$ von $v$ (insbesondere ist
+		$v$ in der $N(v)$) ob sie eine
+		Clique ist. Wir fangen wieder mit den größten Teilmengen an. Wenn wir eine Clique
+		finden, ist sie die größte, die $v$ enthält.
+
+		Die exakte Laufzeit ist damit
+		\[
+			\sum_{i=1}^{deg(v)} \binom{\abs{N(v)}}{i} \cdotp i^2
+		\]
+		
+		Den Knotengrad können wir mit dem Maximalknotengrad $\Delta$ abschätzen,
+		ebenso wie die Größe von $N(v)$.
+		Somit erhalten wir
+		\[
+			\sum_{i=1}^\Delta \binom{\Delta}{i} \cdotp i^2
+		\]
+		Das heißt wir bekommen asymptotisch $\Oh(2^\Delta \cdotp \Delta^2)$.
+		\points{2}
+
+	\item
+		Mit dem Ansatz aus Teilaufgabe \ref{1b} können wir einen Algorithmus
+		für \alg*{Größte Clique} mit Parameter $\Delta$ konstruieren.
+
+		Dafür iterieren wir über jeden Knoten $v \in V$ und führen für ihn unseren
+		Algorithmus aus.
+
+		Das führt zu einer Laufzeit von $\Oh((2^\Delta \cdotp \Delta^2) \cdotp n)$, was in FPT liegt, da das die Form $\Oh(f(k) \cdotp \abs{I}^c)$ mit 
+		Parameter $k$, Instanz $I$ und Konstante $c$ erfüllt.
+		\points{2}
+\end{tasks}

übung_10/aufgabe_2.tex

@@ -0,0 +1,80 @@
+\section{Geradenüberdeckung}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Eine Gerade wird hinreichend bestimmt durch zwei Punkte, durch
+		die sie verläuft. Bei $n \geq 2$ können wir jede Gerade die nur einen
+		Punkt überdeckt, durch eine Gerade ersetzen, die durch mindestens zwei
+		Punkte verläuft.
+		\points{1}
+	
+	\item \label{2b}
+		Jede Gerade überdeckt mindestens zwei Punkte. Es gibt $n$ viele Punkte.
+		Also brauchen wir maximal $n \divslash 2$ Geraden.
+		\points{1}
+	\item
+		Eine Gerade die mehr als $k$ Punkte überdeckt ist in der Geradenüberdeckung.
+		
+		Angenommen wir haben eine Geradenüberdeckung $C$ bei der jede Gerade höchstens
+		$k$ Punkte überdeckt.
+		Wenn es eine Gerade $g$ gibt, die mehr als $k$ Punkte überdeckt und nicht in $C$
+		ist, dann wird sie an maximal $k$ Punkten geschnitten, da in $C$ höchstens $k$ 
+		Geraden sind.
+		Das bedeutet aber, dass nicht alle Punkte, die auf $g$ sind geschnitten und 
+		damit überdeckt werden.
+		Das ist ein Widerspruch zur Annahme.
+		Somit muss $g$ in der Geradenüberdeckung sein.
+		\points{1}
+	
+	\item
+		Unter der Annahme, dass es keine Gerade gibt, die mehr als $k$ Punkte
+		enthält gilt: Für $k < \sqrt{n}$ gibt es keine Geradenüberdeckung.
+		
+		Angenommen jede Gerade überdeckt genau $k$ Punkte. Dann überdecken wir mit $k$ Geraden maximal $k^2$ Punkte. Da $k < \sqrt{n}$ sind das $k^2 < n$ viele Punkte und somit keine Geradenüberdeckung.
+		\points{1}
+
+		
+	\newpage
+	\item
+		\alg*{$k$-Geradenüberdeckung}:
+		\begin{enumerate}
+			\item
+				Ist $k \geq n \divslash 2$, gib $true$ zurück.
+
+			\item
+				Erzeuge die Menge $G$ aller Geraden, die von zwei Punkten aufgespannt werden.
+				Das sind $n^2$ viele.
+
+			\item 
+				Bestimme für jede Gerade die Anzahl der überdeckten Punkte.
+				Nehme die Geraden, die mehr als $k$ Punkte überdecken in die 
+				Geradenüberdeckung $C$. Wir überprüfen für alle $n^2$ Geraden,
+				ob sie noch weitere Punkte überdecken. Also $n^2 \cdotp n$ Überprüfungen.
+
+			\item
+				Ist $C = \emptyset$ und $k < \sqrt{n}$, gib $false$ zurück.
+
+			\item
+				Löse den Rest mit Brute Force.
+
+				Prüfe dafür für alle $A \in \binom{G \setminus C}{k - \abs{C}}$ ob $A \cup C$ alle Punkte überdeckt. Falls ja, gib $true$ zurück, sonst gib $false$ 
+				zurück.
+		\end{enumerate}
+
+		Im Worst Case finden wir keine Geraden die mehr als $k$ Punkte überdecken.
+		Dann iterieren wir über alle $\binom{\abs{G}}{k}$ Mengen von Geraden.
+		Da $k \geq \sqrt{n}$ gilt
+		und $\abs{G} = n^2$ können wir folgende Abschätzung machen.
+		\[
+			\binom{\abs{G}}{k} = \binom{n^2}{k} = \binom{(\sqrt{n})^4}{k} \leq \binom{k^4}{k} 
+		\]
+
+		Wir erhalten somit eine Gesamtlaufzeit von
+		\[
+			\Oh\parens{n^2 + n^3 + \overbrace{\binom{k^4}{k} \cdotp n}^\text{Für jede Auswahl an Geraden alle Punkte prüfen}}
+		\]
+		Das liegt in FPT.
+		\points{5}
+
+
+
+\end{tasks}

übung_10/aufgabe_3.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\section{Mehrgüterfluss}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Siehe \autoref{fig:3a}.
+		\points{2}
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\includegraphics[page=1]{figures.pdf}
+			\caption{Maximaler Fluss mit Gesamtflusswert $1$.}
+			\label{fig:3a}
+		\end{figure}
+	
+	\item
+		Siehe \autoref{fig:3b}
+		\points{3}
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\includegraphics[page=2]{figures.pdf}
+			\caption{Maximaler Fluss mit Gesamtflusswert $1$.}
+			\label{fig:3b}
+		\end{figure}
+	
+\end{tasks}

übung_10/aufgabe_4.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\section{Längste Wege}
+\begin{tasks}
+	\item
+	Da $s, t$ in $G'$ adjazent zu jedem Knoten in $G$ ist, können wir
+	einen einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k+2$ erzeugen, indem wir
+	einen einfachen Weg der Länge $k$ in $G$ nehmen, $s$ an das eine Ende und $t$ an das andere Ende hängen.
+	
+	Umgekehrt kann man aus einem einfachen $s$-$t$-Weg der Länge $k$
+	in $G'$ einen einfachen Weg der Länge $k-2$ in $G$ konstruieren,
+	indem wir $s$ und $t$ entfernen.
+	\points{2}
+	
+	\item
+	Ein Hamiltonweg ist ein Weg der alle Knoten in $G$ beinhaltet
+	und somit Länge $n-1$ besitzt.
+	
+	Wie wir oben gezeigt haben, kann ein $s$-$t$-Weg der Länge $n+1$
+	in $G'$ leicht in einen Weg der Länge $n-1$ in $G$ umgewandelt 
+	werden. Das heißt, dass wir einen Hamiltonweg in $G$ finden,
+	wenn wir einen $s$-$t$-Weg finden.
+	
+	Umgekehrt können wir einen Hamiltonweg leicht in einen $s$-$t$-Weg
+	umwandeln, also finden wir einen $s$-$t$-Weg wenn wir einen
+	Hamiltonweg finden.
+	
+	Also finden wir einen Hamiltonweg genau dann, wenn wir einen
+	$s$-$t$-Weg finden.
+	\points{1}
+	
+	\item
+	Da wir Hamiltonweg auf \algt{Längster $s$-$t$-Weg} reduziert
+	haben, muss also \algt{Längster $s$-$t$-Weg} $\NPe$-schwer sein, denn
+	wenn es in $\Pe$ liegen würde, könnten wir auch Hamiltonweg in
+	polynomieller Zeit lösen. Da wir nicht von $\Pe = \NPe$ ausgehen,
+	ist das nicht möglich.
+	\points{2}
+	
+\end{tasks}

übung_10/ngexrcs.cls

@@ -0,0 +1,72 @@
+% vim: set filetype:tex
+
+% Identification %
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesClass{ngexrcs}[2021/12/21 ADS Exercise class]
+
+% Handle options %
+\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrartcl}}
+\ProcessOptions\relax
+
+% More declarations %
+\LoadClass{scrartcl}
+
+\KOMAoptions{mpinclude=true}
+\recalctypearea
+
+\RequirePackage{ngutils}
+
+% define fonts
+\RequirePackage{fontspec}
+\RequirePackage[math-style=upright]{unicode-math}
+\setmainfont{TeX Gyre Pagella}
+\setsansfont{TeX Gyre Heros}
+\setmonofont{TeX Gyre Cursor}
+\setmathfont{Euler Math}
+\mathitalicsmode=1
+
+\setlength{\marginparwidth}{1.5\marginparwidth}
+\setlength{\fboxrule}{\heavyrulewidth}
+
+% Use sansfont for all title elements
+\addtokomafont{titlehead}{\sffamily}
+\addtokomafont{subject}{\sffamily}
+\addtokomafont{title}{\sffamily}
+\addtokomafont{subtitle}{\sffamily}
+\addtokomafont{author}{\sffamily}
+\addtokomafont{date}{\sffamily}
+\addtokomafont{publishers}{\sffamily}
+
+% Use serif font for headings
+\addtokomafont{disposition}{\rmfamily}
+
+% Let sections be formated as in: Aufgabe 1 -- Section title 
+\renewcommand*{\sectionformat}{Aufgabe \thesection\autodot\enskip--\enskip}
+
+% Let points of an exercise be printed as in: [__ / 2]
+\newkomafont{points}{\sffamily}
+\newcommand\points[2][1em]{\marginline{\framebox{{\usekomafont{points}\hspace{#1} \textbf{/} #2}}}}
+
+\newcounter{task}
+\renewcommand{\thetask}{\@alph\c@task)}
+\newenvironment{tasks}
+{
+	\begin{list}{\thetask}
+		{
+			\usecounter{task}
+			\setlength{\leftmargin}{1.6em}
+		}
+}{%
+	\end{list}
+}
+
+\DeclareNewTOC
+[
+	type=algorithm,
+	types=algorithms,
+	float,
+	floattype=4,
+	name=Algorithmus,
+	listname={Algorithmenverzeichnis}
+]
+{loa}

übung_10/ngutils.sty

@@ -0,0 +1,109 @@
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{ngutils}[2026/06/05 Never's LaTeX utils]
+
+\RequirePackage[ngerman]{babel}
+\RequirePackage{graphicx}
+\RequirePackage{tabularx}
+\RequirePackage{booktabs}
+\RequirePackage{listings}
+
+\lstnewenvironment{pseudocode}[1][] %defines the algorithm listing environment
+{
+    \renewcommand{\lstlistingname}{Algorithmus}
+    \lstset{ %this is the stype
+        mathescape=true,
+        columns=fullflexible,
+        basicstyle=\normalfont,
+        identifierstyle=\scshape,
+        keywordstyle=\bfseries,
+        keywords={, and, or, not, new, if, then, else, while, for, in, to, up, down, foreach, do, return},
+        commentstyle=\itshape,
+        comment=[l]//,
+        delim=[is][\normalfont]{|}{|},
+        tabsize=3,
+        frame=tb,
+        framerule=1pt,
+        #1 % this is to add specific settings to an usage of this environment (for instnce, the caption and referable label)
+    }
+}
+{}
+
+\newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg\,max}}}
+\newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg\,min}}}
+\newcommand{\seilpmi}{\Longleftarrow}
+
+\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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+\newcommand{\suchthat}{\;\middle\vert\;}
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+\newcommand{\interval}[2][b]{
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+\makeatletter
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+		\end{tabbing}
+	\end{minipage}
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+