blatt 10

übung_10/aufgabe_2.tex

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+\section{Geradenüberdeckung}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Eine Gerade wird hinreichend bestimmt durch zwei Punkte, durch
+		die sie verläuft. Bei $n \geq 2$ können wir jede Gerade die nur einen
+		Punkt überdeckt, durch eine Gerade ersetzen, die durch mindestens zwei
+		Punkte verläuft.
+		\points{1}
+	
+	\item \label{2b}
+		Jede Gerade überdeckt mindestens zwei Punkte. Es gibt $n$ viele Punkte.
+		Also brauchen wir maximal $n \divslash 2$ Geraden.
+		\points{1}
+	\item
+		Eine Gerade die mehr als $k$ Punkte überdeckt ist in der Geradenüberdeckung.
+		
+		Angenommen wir haben eine Geradenüberdeckung $C$ bei der jede Gerade höchstens
+		$k$ Punkte überdeckt.
+		Wenn es eine Gerade $g$ gibt, die mehr als $k$ Punkte überdeckt und nicht in $C$
+		ist, dann wird sie an maximal $k$ Punkten geschnitten, da in $C$ höchstens $k$ 
+		Geraden sind.
+		Das bedeutet aber, dass nicht alle Punkte, die auf $g$ sind geschnitten und 
+		damit überdeckt werden.
+		Das ist ein Widerspruch zur Annahme.
+		Somit muss $g$ in der Geradenüberdeckung sein.
+		\points{1}
+	
+	\item
+		Unter der Annahme, dass es keine Gerade gibt, die mehr als $k$ Punkte
+		enthält gilt: Für $k < \sqrt{n}$ gibt es keine Geradenüberdeckung.
+		
+		Angenommen jede Gerade überdeckt genau $k$ Punkte. Dann überdecken wir mit $k$ Geraden maximal $k^2$ Punkte. Da $k < \sqrt{n}$ sind das $k^2 < n$ viele Punkte und somit keine Geradenüberdeckung.
+		\points{1}
+
+		
+	\newpage
+	\item
+		\alg*{$k$-Geradenüberdeckung}:
+		\begin{enumerate}
+			\item
+				Ist $k \geq n \divslash 2$, gib $true$ zurück.
+
+			\item
+				Erzeuge die Menge $G$ aller Geraden, die von zwei Punkten aufgespannt werden.
+				Das sind $n^2$ viele.
+
+			\item 
+				Bestimme für jede Gerade die Anzahl der überdeckten Punkte.
+				Nehme die Geraden, die mehr als $k$ Punkte überdecken in die 
+				Geradenüberdeckung $C$. Wir überprüfen für alle $n^2$ Geraden,
+				ob sie noch weitere Punkte überdecken. Also $n^2 \cdotp n$ Überprüfungen.
+
+			\item
+				Ist $C = \emptyset$ und $k < \sqrt{n}$, gib $false$ zurück.
+
+			\item
+				Löse den Rest mit Brute Force.
+
+				Prüfe dafür für alle $A \in \binom{G \setminus C}{k - \abs{C}}$ ob $A \cup C$ alle Punkte überdeckt. Falls ja, gib $true$ zurück, sonst gib $false$ 
+				zurück.
+		\end{enumerate}
+
+		Im Worst Case finden wir keine Geraden die mehr als $k$ Punkte überdecken.
+		Dann iterieren wir über alle $\binom{\abs{G}}{k}$ Mengen von Geraden.
+		Da $k \geq \sqrt{n}$ gilt
+		und $\abs{G} = n^2$ können wir folgende Abschätzung machen.
+		\[
+			\binom{\abs{G}}{k} = \binom{n^2}{k} = \binom{(\sqrt{n})^4}{k} \leq \binom{k^4}{k} 
+		\]
+
+		Wir erhalten somit eine Gesamtlaufzeit von
+		\[
+			\Oh\parens{n^2 + n^3 + \overbrace{\binom{k^4}{k} \cdotp n}^\text{Für jede Auswahl an Geraden alle Punkte prüfen}}
+		\]
+		Das liegt in FPT.
+		\points{5}
+
+
+
+\end{tasks}