blatt 10

übung_10/aufgabe_1.tex

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+\section{Größte Clique}
+\begin{tasks}
+	\item
+		Wir prüfen für jede Teilmenge $V' \subseteq V$, ob sie eine Clique ist, 
+		d. h. wir prüfen für jeden Knoten in $V'$ ob es eine Kante zu jedem anderen
+		Knoten in $V'$ gibt.
+
+		Dabei fangen wir mit der größten Teilmenge an und werden schrittweise kleiner.
+		Wenn wir eine Clique finden ist sie die größte.
+		
+		Exakt haben wir eine Laufzeit von
+		\[
+			\sum_{i=1}^n \binom{n}{i} \cdotp i^2
+		\]
+
+		Es exitieren maximal $2^n$ viele Teilmengen. Für jede Teilmenge $V'$
+		prüfen wir für jedes Knotenpaar, ob sie adjazent sind. Das geht in $\Oh(n^2)$ Zeit.
+		Also $\Oh(2^n \cdotp n^2)$.
+		\points{2}
+
+	\item \label{1b}
+		Wir prüfen diesmal für jede Teilmenge der Nachbarschaft $N(v)$ von $v$ (insbesondere ist
+		$v$ in der $N(v)$) ob sie eine
+		Clique ist. Wir fangen wieder mit den größten Teilmengen an. Wenn wir eine Clique
+		finden, ist sie die größte, die $v$ enthält.
+
+		Die exakte Laufzeit ist damit
+		\[
+			\sum_{i=1}^{deg(v)} \binom{\abs{N(v)}}{i} \cdotp i^2
+		\]
+		
+		Den Knotengrad können wir mit dem Maximalknotengrad $\Delta$ abschätzen,
+		ebenso wie die Größe von $N(v)$.
+		Somit erhalten wir
+		\[
+			\sum_{i=1}^\Delta \binom{\Delta}{i} \cdotp i^2
+		\]
+		Das heißt wir bekommen asymptotisch $\Oh(2^\Delta \cdotp \Delta^2)$.
+		\points{2}
+
+	\item
+		Mit dem Ansatz aus Teilaufgabe \ref{1b} können wir einen Algorithmus
+		für \alg*{Größte Clique} mit Parameter $\Delta$ konstruieren.
+
+		Dafür iterieren wir über jeden Knoten $v \in V$ und führen für ihn unseren
+		Algorithmus aus.
+
+		Das führt zu einer Laufzeit von $\Oh((2^\Delta \cdotp \Delta^2) \cdotp n)$, was in FPT liegt, da das die Form $\Oh(f(k) \cdotp \abs{I}^c)$ mit 
+		Parameter $k$, Instanz $I$ und Konstante $c$ erfüllt.
+		\points{2}
+\end{tasks}