diff --git a/übung_4/agt_übung_4.pdf b/übung_4/agt_übung_4.pdf index 555124b..ad1eeed 100644 Binary files a/übung_4/agt_übung_4.pdf and b/übung_4/agt_übung_4.pdf differ diff --git a/übung_4/aufgabe_1.tex b/übung_4/aufgabe_1.tex index 62f2623..21957eb 100644 --- a/übung_4/aufgabe_1.tex +++ b/übung_4/aufgabe_1.tex @@ -11,23 +11,33 @@ \end{figure} \item Das Problem kann als Maximalflussproblem modelliert werden. Dafür haben wir - eine Quelle $s$, eine Senke $t$ und Knoten $v_i$ mit $i \in \NN_{\leq n}$. - Die Eingangskapazität eines Knoten $v_i$ entspricht dem Eingangsgrad $e_i$. - Die Ausgangskapazität entspricht dem Ausgangsgrad $a_i$. Siehe \autoref{fig:task1b}. + eine Quelle $s$, eine Senke $t$ und Knoten $v_{i_{e/a}}$ mit $i \in \NN_{\leq n}$. - Wenn es einen vollständigen Fluss gibt, gibt es eine Lösung für das Problem, + Die Eingangskapazität eines Knoten $v_{i_a}$ entspricht dem Ausgangsgrad $a_i$. + + Die Ausgangskapazität eines Knoten $v_{i_e}$ entspricht dem Eingangsgrad $e_i$. + + Für die Kantenkapazität $c \in \NN$ einer Kante $\tup{v_{i_a}, v_{j_e}}$ mit $i, j \leq n$ gilt, + wenn $i = j$, sind Selbstkanten erlaubt, wenn $c > 0$. + Ausserdem sind Mehrfachkanten erlaubt, wenn $c > 1$. + Siehe \autoref{fig:task1b}. + + Wenn es einen vollständigen Fluss gibt, also alle in $t$ eingehenden Kanten vollständig benutzt werden, gibt es eine Lösung für das Problem, sonst nicht. \points{4} + \begin{figure} \centering - \includegraphics[page=2, width=0.5\textwidth]{figures.pdf} + \includegraphics[page=2, width=0.8\textwidth]{figures.pdf} \caption{Das Problem als Maximalflussproblem.} \label{fig:task1b} \end{figure} \item - Die Modellierung ist korrekt, da der Eingangs- und Ausgangsgrad jedes Knotens $v_i$ - von oben beschränkt wird von der Eingangskapazität $e_i$ bzw. Ausgangskapazität $a_i$. + Die Modellierung ist korrekt, da die Eingangs- und Ausgangsgrade der Knoten + $v_i$ im Graphen durch die Kantenkapazitäten $a_i$ und $e_i$ Fluss beschränkt werden. - Zudem erfüllt die Flusserhaltung den Zweck, dass die Summe der Eingangsgrade gleich der Summe der Ausgangsgrade sind, was in einem Graphen erfüllt sein muss. + Durch wählen der Kantenkapazitäten der Kanten $(v_{i_a}, v_{j_e})$ im Fluss + können Selbst- und Mehrfachkanten ein- oder ausgeschlossen werden. + Damit entsprechen diese Kanten im Fluss den Kanten im Graphen. \points{2} \end{tasks} diff --git a/übung_4/aufgabe_2.tex b/übung_4/aufgabe_2.tex index 067063b..147143a 100644 --- a/übung_4/aufgabe_2.tex +++ b/übung_4/aufgabe_2.tex @@ -23,7 +23,11 @@ entspricht, da dann alle neuen von $s$ ausgehenden Kanten vollständig ausgelast Also ist $f'$ ein zulässiger $s$-$t$-Fluss mit Wert $|f'|=\sum_{v:b(v)>0}b(v)$ \item Sei $f'$ ein $s$-$t$-Fluss in $G'$. Da sein Wert maximal ist, sind alle Kanten zu $s$ und $t$ voll ausgelastet.\\ Für die Einschränkung $f:=f'\vert_E$ betrachtet man die Flusserhaltung jedes Knotens $v\in V$ in $G'$: - $$\textnormal{Nettozufluss}_f(v)=\textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)-[\textnormal{Beitrag der neuen Kante]}=0-(-b(v))=b(v)$$ + \begin{align*} + \textnormal{Nettozufluss}_f(v) &= \textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)-[\textnormal{Beitrag der neuen Kante]} \\ + &= 0-(-b(v)) \\ + &= b(v) + \end{align*} Also ist $f$ ein zulässiger b-Fluss in $G$. \end{enumerate} \points{2} diff --git a/übung_4/figures.pdf b/übung_4/figures.pdf index 9236211..12bdfb0 100644 Binary files a/übung_4/figures.pdf and b/übung_4/figures.pdf differ diff --git a/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe b/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe new file mode 100644 index 0000000..4e19de6 --- /dev/null +++ b/übung_4/figures.pdf.autosave.ipe @@ -0,0 +1,877 @@ + + + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e + + + + + +0.5 0 0 0.5 0 0 e + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h + + + + + +-0.5 -0.5 m +0.5 -0.5 l +0.5 0.5 l +-0.5 0.5 l +h + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + + + +-0.43 -0.57 m +0.57 0.43 l +0.43 0.57 l +-0.57 -0.43 l +h + + +-0.43 0.57 m +0.57 -0.43 l +0.43 -0.57 l +-0.57 0.43 l +h + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +-1 0.333 m +0 0 l +-1 -0.333 l + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.3 0 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +0.5 0 m +-0.5 0.333 l +-0.3 0 l +-0.5 -0.333 l +h + + + + +1 0 m +0 0.333 l +0 -0.333 l +h +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +1 0 m +0 0.333 l +0 -0.333 l +h +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-0.8 0 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-0.8 0 l +-1.7 -0.333 l +h + + + + +-1.7 0.333 m +-0.7 0 l +-1.7 -0.333 l + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h +-1.7 0 m +-2.7 0.333 l +-2.7 -0.333 l +h + + + + +-0.7 0 m +-1.7 0.333 l +-1.7 -0.333 l +h +-1.7 0 m +-2.7 0.333 l +-2.7 -0.333 l +h + + + + +100 204 m +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +h + + + + +100 204 m +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +h + + + + +100 204 m +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +h + + + + +96 96 m +304 96 l +304 204 l +96 204 l +h + + + + +96 96 m +304 96 l +304 204 l +96 204 l +h + + + + +92 92 m +308 92 l +308 208 l +92 208 l +h + + + + +100 96 m +110 96 s +110 92 +106 88 s +116 92 +118 96 s +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +100 204 l +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +h + + + + +100 96 m +186 96 s +186 92 +182 88 s +192 92 +194 96 s +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +100 204 l +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +h + + + + +100 96 m +110 96 s +110 92 +106 88 s +116 92 +118 96 s +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +100 204 l +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +h + + + + +100 96 m +110 96 s +110 92 +106 88 s +116 92 +118 96 s +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +100 204 l +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +h + + + + +100 96 m +186 96 s +186 92 +182 88 s +192 92 +194 96 s +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +100 204 l +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +h + + + + +100 96 m +110 96 s +110 92 +106 88 s +116 92 +118 96 s +300 96 l +4 0 0 4 300 100 304 100 a +304 200 l +4 0 0 4 300 200 300 204 a +100 204 l +4 0 0 4 100 200 96 200 a +96 100 l +4 0 0 4 100 100 100 96 a +h + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[sansdefault]{fontsetup} +\usepackage{ngutils} + +\renewcommand{\theoremfont}{\normalfont\bfseries\color{dark blue}} +\renewcommand{\definitionfont}{\normalfont\bfseries\color{dark gray}} + +\newcommand{\labelfont}{\normalfont\bfseries\color{dark blue}} + +%\setlength{\leftmargini}{1.33em} +%\setlength{\leftmarginii}{1.33em} +%\setlength{\leftmarginiii}{1.33em} +%\setlength{\leftmarginvi}{1.33em} + +\renewcommand{\labelenumi}{\labelfont\arabic{enumi}.} +\renewcommand{\labelenumii}{\labelfont\alph{enumii})} +\renewcommand{\labelenumiii}{\labelfont\roman{enumiii}.} +\renewcommand{\labelenumiv}{\labelfont\Alph{enumiv}.} + +\renewcommand{\labelitemi}{\labelfont $\blockfull$} +\renewcommand{\labelitemii}{\labelfont $\blackpointerright$} +\renewcommand{\labelitemiii}{\labelfont $\bullet$} +\renewcommand{\labelitemiv}{\labelfont $\bullet$} + +\setlength{\fboxsep}{1pt} + +\newcommand{\bk}{\color{black}} 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112 m +512 416 l + + +560 112 m +576 352 l + + +608 256 m +272 112 l + + +608 256 m +512 416 l + + +608 256 m +576 352 l + + +512 416 m +576 352 l + +1 +1 +2 +3 +4 +5 +5 +8 +6 +7 +10 + +416 256 m +416 64 l + + + + + + +320 192 m +448 192 l + + +320 320 m +448 256 l + + +320 320 m +448 192 l + + +320 192 m +448 256 l + + +320 192 m +448 320 l + + +320 256 m +448 320 l + + +320 256 m +448 192 l + + +320 256 m +448 256 l + + +320 320 m +448 320 l + + +320 320 m +448 256 l + + +320 256 m +448 256 l + + +320 192 m +448 256 l + + +192 256 m +320 320 l + + +192 256 m +320 256 l + + +192 256 m +320 192 l + + + + + + +v_{1_{e}} +v_{2_{e}} +v_{n_{e}} +s +t +a_1 +a_n +a_2 +e_1 +e_n +e_2 +\vdots + + + +v_{1_{a}} +v_{2_{a}} +v_{n_{a}} +\begin{description} +\item[\color{dark purple}{Lila Kanten}] Kantenkapazität $1$ wenn keine Mehrfachkanten erlaubt sind. + +\item[\color{dark gray}{Graue Kanten}] Kantenkapazität $0$ wenn keine Selbstkanten erlaubt sind. +\end{description} + +